ピタゴラス数



【 ピタゴラス数とは 】

　　ピタゴラス数とは，ｘ² ＋ y² ＝ z²を満たす自然数ｘ，ｙ，ｚのことで
　この３つの数の長さの辺を持つ三角形は直角三角形になります．
　学校の授業で直角三角形が出てくるとよくピタゴラス数が使われます．

　　みなさんはどんなピタゴラス数を知っていますか？
　有名で簡単な計算でよく出てくるのは，（３，４，５），（５，１２，１３），とこの２つを
　数倍したものくらいでしょう．

　　もう少し難しいのでは（８，１５，１７），（７，２４，２５）などですが，
　中学や高校の問題を見るとこれらの数字ばっかりです．
　これだと少し飽きてきませんか？
　そこで，自分でピタゴラス数を探して見ましょう！

【 ピタゴラス数の求め方 】

　　みなさんは自分でピタゴラス数を見つけろと言われたら，どうやって見つけますか？
　適当に２つの平方数を加え，その和が平方数になっているか，というやり方を
　する人が多いと思いますけど，それではなかなかピタゴラス数は見つかりませんし，
　数が大きくなれば和が平方数になっているかすらわからないでしょう．

　◆そこでピタゴラス数を求める式があります．それは，
　（ｍ²−ｎ²)²＋(２ｍｎ)²＝（ｍ²＋ｎ²)²　　　ｍ，ｎは自然数
　の式で求められます．例えばｍに２，ｎに１を入れると，
　（ｍ²−ｎ²)＝３，(２ｍｎ)＝４，（ｍ²＋ｎ²)＝５となって（３，４，５）となります．

　　では次にｍに４，ｎに２を入れて求めてみましょう．
　計算できましたか？（１２，１６，２０）が求められましたね．
　
　ここでこの数はさっきの（３，４，５）の４倍の数だと気づく人もいるでしょう．

　　確かに（１２，１６，２０）もピタゴラス数です．
　しかしこのように数倍した数はわざわざ計算をしなくても求められますね？
　そこでｍ，ｎに新たな条件を加えます．
　それは，
　　　ｍ，ｎは互いに素で一方は奇数，他方は偶数　です．
　自然数であり，さらにこの条件を加えると数倍されていない（互いに素である）
　ピタゴラス数（原始的ピタゴラス数，既約なピタゴラス数と呼ぶ）が求められるのです．　
　　この条件のもと，ｍ＞ｎとしてｍ＝９まで計算しました． 　

表１

ｍ	２	３	４	４	５	５	６	６	７	７	７	８	８	８	８	９	９	９
ｎ	１	２	１	３	２	４	１	５	２	４	６	１	３	５	７	２	４	８
ｍ2−ｎ2	３	５	15	７	21	９	35	11	45	33	13	63	55	39	15	77	65	17
２ｍｎ	４	12	８	24	20	40	12	60	28	56	84	16	48	80	112	36	72	144
ｍ2＋ｎ2	５	13	17	25	29	41	37	61	53	65	85	65	73	89	113	85	97	145

　　同じ行の下３列の数字が互いに素であるピタゴラス数になります．
　この式を使えば（３３，５６，６５）のように紙面で計算するには二乗するのも
　面倒な程大きい数字のピタゴラス数を求めることができます．

　なぜ上の式でピタゴラス数を求めることができるのか疑問に思った人は　→　ここをクリック　

　◆上の式がピタゴラス数を求める一般的な式ですが，
　他にもピタゴラス数を求める方法はいくつかあります。
　その中で有名でわかりやすい方法は
　ｎ²＋２ｎ＋１＝（ｎ＋１）²
　の式を使います．高校の始めに因数分解で習いましたよね？

　　この因数分解の式をどう使うかわかりますか？
　ｎ²＋（２ｎ＋１）＝（ｎ＋１）²
　というように見るとわかるでしょうか．
　左辺のｎと右辺のｎ＋１が２乗していますよね？
　ここで２ｎ＋１が２乗された数（平方数）になっていれば
　ｎと２ｎ＋１の平方根とｎ＋１でピタゴラス数になる，ということです．

　　２ｎ＋１は奇数なので，例えば２ｎ＋１＝49（＝７²）とすると，
　ｎ＝２４，ｎ＋１＝２５となるので（７，２４，２５）とピタゴラス数が見つかります．

表２

２ｎ＋１	９	25	49	81	121	169	225	289	361	441
√（２ｎ＋１）	３	５	７	９	11	13	15	17	19	21
ｎ	４	12	24	40	60	84	112	144	180	220
ｎ＋１	５	13	25	41	61	85	113	145	181	221

　　この表２を見て何か気づきましたか？
　大きい２数の差が必ず１になりますね？
　これは公式の性質上（ｎとｎ＋１があるから）そうなるのです．
　そして小さい数は必ず奇数ですよね？これも奇数の平方根なので奇数になるのです．
　　このことから，この公式を使う方法は手っ取り早く
　任意の奇数（１を除く）と，その数を２乗した数を差が１になるように分けた２数はピタゴラス数
　と日本語だけで言いかえることができます．

　例）３の２乗の９を差が１となるように分けた４，５　　→　（３，４，５）
　　　９の２乗の81を差が１となるように分けた40，41　→　（９，40，41）

　　まだまだピタゴラス数の求め方はありますが，とりあえずこの２つの方法を知っていれば
　相当な数のピタゴラス数を求めることができるでしょう．

【 ピタゴラス数の性質 】　

　　最後にピタゴラス数の性質を簡単に紹介しましょう．
　今までで求めたピタゴラス数の表１，表２をよく見てください．
　どのピタゴラス数にも１つには１の位が０か５の数字がある気はしませんか？
　
　そうなんです．必ず１の位が０か５，つまり５の倍数がピタゴラス数にはあるのです．
　そして気づきにくいのですが，斜辺以外の２数には３か４の倍数が必ず１つあります．
　以下の文はピタゴラス数の性質についてまとめたものです．

　　　ａ，ｂ，ｃがピタゴラス数（ｃが斜辺）のとき次のことが成り立つ．
　　　�@ ａかｂは，３の倍数である．
　　　�A ａかｂは，４の倍数である．
　　　�B ａかｂかｃは，５の倍数である．

　　いわれてみると確かにありますね？　　　　　証明はこちらから　→　ここをクリック　　　　　
　　さらに�@と�Aから ａ と ｂ の積は１２の倍数であり
　　�@と�Aと�Bからピタゴラス数の３つの積は６０の倍数であることが導かれます．
　
　　また，ａ ＝ ｍ²−ｎ² ，ｂ ＝ ２ｍｎ ，ｃ ＝ ｍ²＋ｎ²より
　　ｃ＋ａ＝２ｍ²
　　ｃ−ａ＝２ｎ²
　　ｂ＋ｃ＝ｍ²＋２ｍｎ＋ｎ²＝（ｍ＋ｎ）²なので，
　　ｃ と ａ の和，差は平方数の２倍になる．　
　　ｂ と ｃ の和は平方数になる．ことがわかります．

　　みなさんも自分で確かめてみてください．　
　　注）ピタゴラス数（ａ，ｂ，ｃ）でｃは斜辺で一番大きい数ですが，ａとｂは　
　　必ずしもａ＜ｂとは限りません．ｍとｎの値のよってはａ＞ｂになることがあるので
　　和，差を確かめるときはどちらがａで，どちらがｂか注意してください．